Il linguaggio matematico

Importanza nella matematica delle relazioni d'ordine

e delle relazioni di equivalenza

(a cura di Benedetto Brugia)

È venuto il momento di affrontare il dubbio che probabilmente agita il nostro lettore: «D'accordo, le relazioni d'ordine e quelle di equivalenza sono interessanti; ed è vero, il discorso ha rigorosamente evitato ogni riferimento agli universi numerici; ma insomma, cosa ha a che fare tutto ciò con la matematica?». Cosa si può rispondere a un'obiezione che sembra a prima vista tanto fondata? Intanto, vogliamo sottolineare che le relazioni d'ordine e le relazioni di equivalenza sono solo un'esigua minoranza privilegiata nel mare sconfinato delle possibili relazioni — ovvero: quasi tutte le relazioni non sono né d’ordine né di equivalenza. Dunque non c'è da sorprendersi se sottolineiamo che le relazioni d'ordine e le relazioni di equivalenza costituiscono delle eccezioni degne di nota in un panorama generale di mediocrità!

Eccezioni, quindi, e degne di note: infatti esse sono le uniche relazioni che producono, rispettivamente, ordinamenti e ripartizioni in classi; e non vi è dubbio che ordinamenti e ripartizioni in classi siano strumenti a cui facciamo continuamente ricorso nell'organizzazione del sapere.

Resta da evidenziare l'importanza che essi rivestono in ambito matematico, numerico o non numerico; è giunto il momento di accingersi a questo compito.

Concentriamo innanzitutto la nostra attenzione sugli ordinamenti (e quindi sulle relazioni d'ordine). Il primo universo numerico in cui impariamo a muoverci — quando siamo ancora fanciulli spensierati che nella loro vita non hanno incontrato la matematica! — è costituito dall'insieme dei numeri naturali (gli interi da zero in poi). Ebbene, l'approccio ai naturali avviene attraverso l'attività del contare, che è basata sul fatto di pensare questo insieme numerico come ordinato. La stessa costruzione dei naturali attraverso il meccanismo di generazione del successivo è intrinsecamente connessa con l'ordinamento — non l'unico, ma quello più spontaneo e importante — dell'insieme (si parte da 0; si costruisce il successivo di 0 aggiungendo 1, e si ottiene 1; si costruisce il successivo di 1 aggiungendo ancora 1, e si ottiene 2; si costruisce il successivo di 2 aggiungendo sempre 1, e si ottiene 3; ecc.). Dunque l'ordinamento è una caratteristica così essenziale dell'insieme numerico più familiare (l'insieme dei naturali) da rendere difficile anche concepire questo insieme prescindendo da esso.

Per chi desiderasse poi un esempio di ordinamento significativo in ambito matematico ma non numerico, ecco l'esempio dell'insieme di tutte le figure del piano, ordinate a partire dalla considerazione della relazione di inclusione: che si tratti di un ordinamento discende dal fatto che la relazione di inclusione — cioè la relazione di “essere sottoinsieme (ovvero parte) di” — è evidentemente anti-simmetrica e transitiva. Ma c'è di più: la nostra riflessione più generale sugli ordinamenti ci permette ora di “relativizzare” anche gli ordinamenti più abituali degli insiemi più consueti. L'ordinamento crescente è solo uno dei possibili ordinamenti dei numeri naturali, suscettibili di altri e diversi ordinamenti: a esempio, essi possono essere legittimamente ordinati secondo la precedenza alfabetica (per cui due precede quattro, ma dieci precede sei!). Analogamente, l'ordinamento delle figure secondo il criterio dell'inclusione può essere affiancato senza scandalo dal loro ordinamento secondo la misura dell'area, e così via... Messi a posto gli ordinamenti, dedichiamoci alle ripartizioni in classi. Sono anch'esse davvero così importanti in matematica? La risposta a questo legittimo dubbio è positiva. Le ripartizioni in classi sono degne di interesse per tante ragioni; la principale è collegata al fatto che la considerazione di una relazione di equivalenza (cioè di una relazione che produce una ripartizione dell'insieme) finisce per determinare un nuovo insieme, diverso da quello di partenza.

Vediamo la faccenda con calma, dato che, fino a ora, di questo nuovo insieme non si era fatta parola. Partiamo da un esempio: consideriamo tutte le rette di un piano e la relazione di parallelismo. Si tratta di una relazione di equivalenza: essa è evidentemente simmetrica e transitiva; è anche riflessiva, se definiamo la coincidenza come un caso particolare di parallelismo. Ebbene, la relazione di parallelismo suddivide le rette del piano in classi, ciascuna caratterizzata da una specifica direzione, e quindi dà luogo a un nuovo insieme, l'insieme delle direzioni del piano. Ogni elemento di questo nuovo insieme (cioè ogni direzione) è costituito da una classe di elementi equivalenti dell'insieme di partenza (cioè da tutte le rette parallele aventi quella direzione).

Il nuovo insieme, determinato dalla relazione di equivalenza e avente come elementi le classi di elementi equivalenti dell'insieme di partenza, si dice insieme quoziente. Nel caso delle rette di un piano e della relazione di parallelismo, l'insieme quoziente è l'insieme delle direzioni possibili sul piano.

Il passaggio dall'insieme dato all'insieme quoziente — passaggio che avviene attraverso una relazione di equivalenza — è molto importante in matematica, poiché consente di ragionare considerando tutti gli elementi di una classe come un unico oggetto (tutte le rette del piano tra loro parallele corrispondono a un'unica direzione nel piano);  si tratta dunque di un processo di astrazione e la matematica è... il regno dell'astrazione! Ricordiamoci, infatti, che persino un semplice numeretto è un'astrazione (non esistono 3 che passeggiano per strada, essendo il numero 3 la nozione astratta che sintetizza tutte le terne concrete di oggetti), esattamente nel senso appena detto: nell'insieme dei raggruppamenti di oggetti, la relazione “avere la stessa quantità di elementi” è una relazione di equivalenza che ripartisce tutti i raggruppamenti in classi; l'insieme quoziente è costituito da tutti i numeri, giacché il numero 3, a esempio, è la classe di tutti i raggruppamenti contenenti tre oggetti. Insomma, la relazione di equivalenza ha a che fare con il passaggio concreto-astratto, che è uno dei passaggi caratteristici dell'intera costruzione matematica, in ambito numerico e non numerico.

Ci fermiamo qui, nella speranza di aver sufficientemente giustificato l'importanza, in matematica, dello studio delle relazioni (e, in particolare, delle relazioni d'ordine e delle retribuzioni di equivalenza), pur apparentemente così lontane dalle problematiche di questa materia.

Ci resta solo il compito di effettuare l'ormai consueta breve ricapitolazione di fine paragrafo: